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Che cosa è una quantità infinita?

Che cosa è una quantità infinita?

Il concetto di infinito ha turbato i matematici fin dai tempi degli antichi greci. I primi lavori di pensatori come Zeno, Cantor, Euclide e Aristotele stabilite le idee fondamentali dietro infinito, ma la sua esistenza è ancora qualcosa di un'incertezza. È possibile utilizzare un numero incredibilmente enorme come un googol (che è un 1 con 100 zeri dopo di esso) o un googolplex (un 1 con un googol di zeri dopo di esso), ma infinito – per definizione – non dispone di una quantità limitata. Esso non è in crescita all'infinito, è solo. Capire la quantità infinite e il concetto di infinito come un intero sembra impegnativo, ma è in realtà semplice (purché non trascorrere troppo tempo cercando di effettivamente immaginare).

Che cosa è infinito?

Infinity è fondamentalmente qualcosa che continua all'infinito. Non si può mai contare fino alla "fine" di tutti i numeri. Anche se si raggiunge un googolplex (un'impresa completamente impossibile in una durata della vita umana), potrebbe solo continui ad andare a un googolplex + 1, o googolplex + googolplex + 1 e così via. In altre parole, non importa quanto tempo vuoi tenere conto, è sempre possibile aggiungere più numeri. Questo è il concetto base dell'infinito. Tutti i numeri che è possibile denominare sono "finiti", che significa che è teoricamente possibile contare a loro – le cose "infinite" non possono essere raggiunto, sono sempre fuori portata. Il simbolo di infinito si adatta il concetto di bene, perché non ha un fine: ∞.

Infinito positivo e negativo

Anche se una quantità infinita davvero non può essere definita con precisione, ci sono due tipi fondamentali di quantità infinita, positivi e negativi. Un infinito positivo (+ ∞) ha un valore positivo, come i numeri 1, 48, 738 e qualsiasi altro numero che conterebbe ordinariamente e uso; è solo un valore infinito positivo. Al contrario, un infinito negativo (− ∞) è un valore infinitamente piccolo, come se si contavano continuamente in numeri negativi: − 1, − 2, − 3 e così via. Si può capire questo attraverso la regola matematica che: − ∞ < x < ∞, dove "x" è qualsiasi numero reale. Ciò significa che infinito negativo è più piccolo di qualsiasi numero che voi potete concepire e infinito positivo è più grande di qualsiasi numero che voi potete concepire.

Operazioni utilizzando infinito

Comprendere operazioni matematiche che coinvolgono infinito è piuttosto impegnativo per ottenere la testa intorno, ma possono aiutare al concetto di un'infinita quantità di cemento. È la somma di più semplice che coinvolge infinito ∞ + 1 = ∞. Conoscete già questo, dall'esercizio conteggio, ma aiuta a vederlo scritto. Allo stesso modo, ∞ + ∞ = ∞ e − ∞ + − ∞ = − ∞. Si può anche dire che ∞ × ∞ = ∞ e − ∞ − ∞ × = ∞, poiché un numero negativo, moltiplicato per un numero negativo ha esito positivo, come − 1 × − 1 = 1.

Paradossi

La natura incerta dell'infinito si presta a diversi problemi, tuttavia. Questi può essere riassunta da paradossi come il paradosso dell'incantatrice e la strega (o il paradosso di Ross-Littlewood) (v. 2 e 3). Un'incantatrice promette una ragazza un numero infinito di monete d'oro, ma fornirà soltanto in un ordine preciso: a un minuto a mezzogiorno, essa fornisce la ragazza con le monete da 1 a 10, a mezzo minuto a mezzogiorno, lei dà monete da 11 a 20, a un terzo di un minuto a mezzogiorno, lei dà monete 21 a 30 e così via. Una strega offre la ragazza un affare, per cui lei ottiene una moneta ogni volta l'incantatrice piatti alcuni fuori, così a un minuto a mezzogiorno che lei riceve moneta uno, a mezzo minuto lei ottiene due moneta e così via. A mezzogiorno, la ragazza avrebbe 0 monete, perché per qualsiasi moneta dato, "n", la strega otterrà la moneta al funzionamento "n". Così la moneta numero tre si terrà durante il terzo set dato dall'incantatrice e il 140 ° moneta sarà presa al 140 ° "dare" e così via. Questo è paradossale, ma quanto tempo può essere diviso infinitamente allora è matematicamente vero.

Risultati indeterminati

Il fatto che l'infinito non è un numero finito significa che sono impossibili da determinare la risposta di alcune operazioni. Ad esempio non può essere risposto ∞ − ∞, perché nessuno sa i numeri precisi coinvolti. Si potrebbe pensare che la risposta sarebbe uno o zero, ma dal ∞ + ∞ = ∞, si potrebbe essere calcolando − ∞ (∞ + ∞), che logicamente non poteva avere la stessa risposta come ∞ − ∞. Le risposte a problemi di questo tipo sono indeterminate, perché è impossibile dire che cosa la risposta sarebbe dato le informazioni fornite.