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Come risolvere equazioni differenziali lineari accoppiati

Come risolvere equazioni differenziali lineari accoppiati

Una tecnica comune utilizzata per risolvere un sistema di equazioni differenziali lineari accoppiati coinvolge disaccoppiamento le equazioni attraverso metodi matrix e l'integrazione di ciascuno di essi separatamente. La chiave per il successo di questo metodo è la possibilità di disaccoppiare le equazioni di diagonalizzando la matrice quadrata che si traduce quando queste equazioni vengono riscritti in forma di matrice. Questa tecnica richiede l'algebra matriciale, tra cui autovalori e autovettori e calcolo integrale, e ci sono molte risorse disponibili su questi argomenti, come mondo matematica di Wolfram.

Istruzioni

• Esprimere il sistema di equazioni differenziali lineari in forma matriciale. Si consideri ad esempio le seguenti due equazioni differenziali dx/dt = ascia + di (1) dy/dt = cx + dy (2) questo può essere riscritta in forma matriciale come dX/dt = Xdot = AX, dove Xdot è una matrice colonna dei derivati, A è 2 x 2 matrice quadrata dei coefficienti a, b, c e d, dove un e b sono in prima fila e c e d il secondo , e X è una matrice colonna delle variabili x e y. Per ulteriori informazioni su come scrivere equazioni in forma matriciale vedo "Di Schaum Outline of Theory" e problemi di operazioni matriciali: Richard Bronson: 1989.

• Calcolare gli autovalori trovando la soluzione dell'equazione caratteristica per la matrice r. autovalori sono le radici dell'equazione caratteristica caratteristiche, e gli autovettori sono i vettori associati. Equazione caratteristica è di det| la forma A-LI| = 0, dove det è il fattore determinante, L rappresenta una matrice di autovalori e I è la matrice identità costituito solo di elementi con un valore di uno il suo diagonale e zero altrove.

• Risolvere per gli autovettori. Autovettori sono relazionati con gli autovalori come segue: AS = LS dove S è una matrice colonna di autovettori.

• Diagonalize la matrice A eseguendo la seguente operazione di matrix: D = SA (inverso di S), dove D è una matrice che ha solo i valori sulla sua diagonale.

• Riscrivere l'equazione matrice originale dX/dt = Xdot = AX in termini della matrice di diagonlized della A sostituendo X = SY e D = SA (inverso di S) per ottenere dY/dt = Ydot = DY questo rappresenta un sistema di equazioni differenziali disaccoppiate.

• Integrare ogni riga della matrice equazione dY/dt = Ydot = DY per trovare soluzioni per Y.

• Sostituire la soluzione Y nuovamente dentro l'equazione X = SY per ottenere le soluzioni dell'equazione originale.